e (Parte 3) (La Derivada de a^x si existe!! y puedo probarlo)

Como recordarán el post anterior dije que iba a demostrar que $$y=a^x$$ era derivable $$\forall a \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$$
Bueno empezaré.

Por definición de derivada $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= \begin{array}{c} \text{Lim} \\ h\to 0 \end{array} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Así
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= \begin{array}{c} \text{Lim} \\ h\to 0 \end{array} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$
Factorizando $$a^x$$ se tiene $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x \begin{array}{c} \text{Lim} \\ h\to 0 \end{array} \frac{a^h-1}{h}$$
Se tomará a $$t=a^h-1$$ , Cuando $$h\to 0$$ , $$t\to 0$$
De aquí $$a^h=1+t$$
y Aplicando logaritmo natural de ambos lados
$$h \text{Ln}|a|=\text{Ln}|1+t|$$ y despejando h
$$h =\frac{\text{Ln}|t+1|}{\text{Ln}|a|}$$
Sustituyendo y arreglando
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a| \begin{array}{c} \text{Lim} \\ t\to 0 \end{array} \frac{1}{\frac{\text{Ln}|1+t|}{t}}$$
Por propiedad de logaritmos se tiene que
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a| \begin{array}{c} \text{Lim} \\ t\to 0 \end{array} \frac{1}{\text{Ln}(1+t)^{\frac{1}{t}}}$$
Usando propiedad de límites
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a| \frac{1}{\text{Ln}\left[ \begin{array}{c} \text{Lim} \\ t\to 0 \end{array} (1+t)^{\frac{1}{t}}\right]}$$
En el post anterior vimos como $$\begin{array}{c} \text{Lim} \\ t\to 0 \end{array} (1+t)^{\frac{1}{t}}=e$$
Asi $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a| \frac{1}{\text{Ln} e}$$
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a|$$