e (Parte 6)

Hoy les enseñaré a resolver integrales del tipo $$\int_0^{\infty } e^{-x} \, dx$$
Bueno, dirán "¿¿¿y como integro hasta el infinito???". Este tipo de integrales es llamado "Integrales Impropias"
gráficamente representa el área bajo la curva sobre todo el intervalo de $$0$$ a $$\infty$$

Bueno, lo que se tiene que hacer es encontrar la integral para un intervalo [0,t] y después que t tienda a infinito, es decir:
$$\int_0^{\infty } e^{-x} \, dx=\underset{t\to \infty }{\text{Lim}}\int_0^t e^{-x} \, dx$$
Resolviendo la integral
$$\int_0^{\infty } e^{-x} \, dx=\underset{t\to \infty }{\text{Lim}}\left[-e^{-x}\right]_{x=0}^t$$
Evaluando
$$\int_0^{\infty } e^{-x} \, dx=-\underset{t\to \infty }{\text{Lim}}e^{-t}+\underset{t\to \infty }{\text{Lim}}e^0$$
Resolviendo el primer límite
cuando t es más grande el valor de $$e^{-t}$$ es más pequeño, por lo que $$-\underset{t\to \infty }{\text{Lim}}e^{-t}=0$$
y $$e^{0}=1$$
Asi $$\int_0^{\infty } e^{-x} \, dx=1$$
Por lo que el area buscada es igual a 1