e y π

Hoy voy a presentarles una bonita integral (doble)
$$\int _0^{\infty }\int _0^{\infty }e^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy$$
Graficamente representa el volumen entre la superficie llamada Campana de Gauss (en 3D) y el plano xy

Como se habrán dado cuenta no podemos integrar esta función en coordenadas cartesianas, asi que haremos un cambio de variable a coordenadas polares (En términos del radio y el ángulo).
Ya sabemos que
$$x=R \text{Cos}[\theta ]$$ ...1
$$y=R \text{Sen}[\theta ]$$ ...2
Pero además se tiene que añadir un factor de correción para ajustar los nuevos diferenciales llamado Jacobiano.
el cuál está definido por

Asi
$$\int \int _Df(x,y)dxdy=\int \int _Tf(R,\theta )|J|dRd\theta$$ ...3
De la ecuación 1
$$\frac{\partial x}{\partial R}=\text{Cos}[\theta ]$$
$$\frac{\partial x}{\partial \theta }=-R \text{Sen}[\theta ]$$
$$\frac{\partial y}{\partial R}=\text{Sen}[\theta ]$$
$$\frac{\partial y}{\partial \theta }=R \text{Cos}[\theta ]$$
Entonces

Como $$R=\sqrt{x^2+y^2}$$ y  $$0\leq x\leq \infty , 0\leq y\leq \infty$$ entonces $$0\leq R\leq \infty$$

y como solo estamos en el primer cuadrante $$0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}$$
Por lo tanto
$$\int _0^{\infty }\int _0^{\infty }e^{-\left(x^2+y^2\right)}\text{dxdy}=\int _0^{\frac{\pi }{2}}\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta$$
Y ahora esta integral se ve más facil para realizar.
Haciendo un cambio de variable
$$u=-R^2$$
$$du=-2RdR$$
$$dR=-\frac{du}{2R}$$
$$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =-\frac{1}{2}\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }e^udud\theta$$

$$\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2} } \left[e^{-u}\right]_0^{\infty } \, d\theta$$
$$\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} \underset{b\to \infty }{\text{Lim}}\left[e^{-b}\right]_0^b \, d\theta$$
$$\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2} } \left[\underset{b\to \infty }{\text{Lim}}e^{-b}-1\right] \, d\theta$$
Ya habiamos visto que $$\underset{b\to \infty }{\text{Lim}}e^{-b}=0$$
Entonces $$\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =\frac{1}{2}\int _0^{\frac{\pi }{2}}d\theta$$
$$\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =\frac{1}{2}[\theta ]_0^{\frac{\pi }{2}}$$
$$\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =\frac{1}{2}[\frac{\pi }{2} ]$$
$$\int _0^{\frac{\pi }{2} }\int _0^{\infty }\text{Re}^{-R^2}dRd\theta =\frac{\pi }{4}$$
$$\therefore \int _0^{\infty }\int _0^{\infty }e^{-\left(x^2+y^2\right)}\text{dxdy}=\frac{\pi }{4}$$
Un caso particular cuando las dos variables de integración son iguales
$$\int _0^{\infty }\int _0^{\infty }e^{-\left(\alpha ^2+\alpha ^2\right)}\text{d$\alpha $d$\alpha $}=\int _0^{\infty }e^{-\alpha ^2}\text{d$\alpha $}\int _0^{\infty }e^{-\alpha ^2}\text{d$\alpha $}$$
$$\int _0^{\infty }\int _0^{\infty }e^{-\left(\alpha ^2+\alpha ^2\right)}\text{d$\alpha $d$\alpha $}=\left[\int _0^{\infty }e^{-\alpha ^2}\text{d$\alpha $}\right]{}^2$$
Usando el resultado que obtuvimos
$$\left[\int _0^{\infty }e^{-\alpha ^2}\text{d$\alpha $}\right]{}^2=\frac{\pi }{4}$$
Sacando raiz de ambos lados
$$\int _0^{\infty }e^{-\alpha ^2}\text{d$\alpha $}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$
Lo que representa el área entre la campana de Gauss (en 2D) y el eje x