Vectores

Vamos a aprender como dados dos vectores $$\overset{\rightharpoonup }{a}$$ y $$\overset{\rightharpoonup }{b}$$ (en la derecha) a encontrar la magnitud de $$\overset{\rightharpoonup }{a}+\overset{\rightharpoonup }{b}$$.

Empezamos uniendo los dos vectores sin cambiar su dirección. Sea $$\theta$$ el ángulo formado por los dos vectores

 Ahora, siendo $$\overset{\rightharpoonup }{c}$$ el vector resultante de $$\overset{\rightharpoonup }{a}+\overset{\rightharpoonup }{b}$$. Notemos del diagrama, $$\text{$\angle $C}=180{}^{\circ}-\theta $$

 Separando el triángulo de abajo del diagrama. Siendo $$A$$ el ángulo opuesto al lado $$\overset{\rightharpoonup }{a}$$, y $$B$$ el ángulo opuesto al lado $$\overset{\rightharpoonup }{b}$$.
$$\text{$\angle $A}+\text{$\angle $B}=180{}^{\circ}-\text{$\angle $C}=\theta$$ ...➀

Dibujando una linea perpendicular desde $$C$$ hasta el lado $$AB$$, en el punto $$D$$.
Siendo $$\overset{\rightharpoonup }{c_1}$$ y $$\overset{\rightharpoonup }{c_2}$$ los dos segmentos formados en el lado $$AB$$ como se muestra en la figura, siendo que $$\overset{\rightharpoonup }{c}= \overset{\rightharpoonup }{c_1}+\overset{\rightharpoonup }{c_2}$$ ...➁
donde $$\left|\overset{\rightharpoonup }{c_1}\right|=\left|\overset{\rightharpoonup }{\text{AD}}\right|$$ y $$\left|\overset{\rightharpoonup }{c_2}\right|=\left|\overset{\rightharpoonup }{\text{DB}}\right|$$.
Del diagrama
$$\text{sen} A=\frac{\left|\overset{\rightharpoonup }{\text{DC}}\right|}{\left|\overset{\rightharpoonup }{b}\right|}$$ y $$\text{sen} B=\frac{\left|\overset{\rightharpoonup }{\text{DC}}\right|}{\left|\overset{\rightharpoonup }{a}\right|}$$
$$\therefore \left|\overset{\rightharpoonup }{\text{DC}}\right|=\left|\overset{\rightharpoonup }{a}\right|\text{sen} B=\left|\overset{\rightharpoonup }{b}\right|\text{sen} A$$ ...➂
$$\cos  A=\frac{\left|\overset{\rightharpoonup }{c_1}\right|}{\left|\overset{\rightharpoonup }{b}\right|}$$
y $$\cos  B=\frac{\left|\overset{\rightharpoonup }{c_2}\right|}{\left|\overset{\rightharpoonup }{a}\right|}$$
$$\left|\overset{\rightharpoonup }{c_1}\right|=\left|\overset{\rightharpoonup }{b}\right|\text{cos} A$$ y $$\left|\overset{\rightharpoonup }{c_2}\right|=\left|\overset{\rightharpoonup }{a}\right|\text{cos} B$$
Sustituyendo en ➁
$$\left|\overset{\rightharpoonup }{c}\right|=\left|\overset{\rightharpoonup }{a}\right|\text{cos} B+|\overset{\rightharpoonup }{b}|\text{cos} A$$ ...➃
Elevando al cuadrado de ambos lados 

 

De la ecuación ➂
$$\left|\overset{\rightharpoonup }{a}\right|\text{sen} B=\left|\overset{\rightharpoonup }{b}\right|\text{sen} A$$,
Por lo tanto,

Usando la fórmula de un post anterior

De la ecuación  ➀ 

...➄


Finalmente