cthulhu con 2.5 T_T

La cthulhu con 2.5. . . no sera

I'll be out of town, I'm so sorry

I'll miss ya

T_T

e (Parte 4)

Creo este será el último post sobre el número e (o puede que no).
Hoy hablaré sobre la derivada del logaritmo natural (logaritmo base e)
$$y=\text{Ln}[x]$$
Usando definición de derivada $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\frac{\text{Ln}(x+h)-\text{Ln}(x)}{h}$$, por propiedad de logaritmos
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$$
Ahora elevamos el argumento del logaritmo a la $$\frac{x}{x}$$
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}\left(\frac{x}{x}\right)}$$
Arreglando $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Por propiedad de logaritmos $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right)
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}$$
Ahora tomamos $$n=\frac{x}{h}$$. Cuando $$h\to 0$$, $$n\to \infty $$
Sustituyendo $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right)
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
Por propiedad de límites $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right) \text{Ln}\left(
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$$
Y ahora ya sabemos que $$
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$
Asi $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right) \text{Ln}(e)$$
$$\therefore $$ $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{1}{x}$$

e (Parte 3) (La Derivada de a^x si existe!! y puedo probarlo)

Como recordarán el post anterior dije que iba a demostrar que $$y=a^x$$ era derivable $$\forall a \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$$
Bueno empezaré.

Por definición de derivada $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Así
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$
Factorizando $$a^x$$ se tiene $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\frac{a^h-1}{h}$$
Se tomará a $$t=a^h-1$$, Cuando $$h\to 0$$, $$t\to 0$$
De aquí $$ a^h=1+t$$
y Aplicando logaritmo natural de ambos lados
$$h \text{Ln}|a|=\text{Ln}|1+t|$$ y despejando h
$$h =\frac{\text{Ln}|t+1|}{\text{Ln}|a|}$$
Sustituyendo y arreglando
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a|
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
t\to 0
\end{array}
\frac{1}{\frac{\text{Ln}|1+t|}{t}}$$
Por propiedad de logaritmos se tiene que
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a|
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
t\to 0
\end{array}
\frac{1}{\text{Ln}(1+t)^{\frac{1}{t}}}$$
Usando propiedad de límites
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a| \frac{1}{\text{Ln}\left[
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
t\to 0
\end{array}
(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]}$$
En el post anterior vimos como $$
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
t\to 0
\end{array}
(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$$
Asi $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a| \frac{1}{\text{Ln} e}$$
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}= a^x\text{Ln}|a|$$

BEHOLD MY MIGHT AND POWER AND TREMBLE!!!

e (Parte 2)

Vamos a suponer que la función $$y=a^x$$ es derivable (en un futuro lo comprobaré pero por hoy pensaremos que es cierto) donde $$a\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$$

Entonces como la función es derivable, por la definición de derivada
y'= $$\underset{h\to 0}{\text{Lim}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$, es decir
y'= $$\underset{h\to 0}{\text{Lim}} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$
Factorizando $$a^x$$ se tiene
y'= $$\underset{h\to 0}{\text{Lim}} \frac{a^x \left(a^h-1\right)}{h}$$
Usando algebra de límites
y'= $$a^x\left(\underset{h\to 0}{\text{Lim}} \frac{ a^h-1}{h}\right)$$
Y como este límite existe por hipótesis, llamaremos $$k=\underset{h\to 0}{\text{Lim}} \frac{ a^h-1}{h}$$
entonces
y'=ky
Lo que significa que la derivada es proporcional a la función original.
Ahora trataremos de encontrar un valor de a para el cuál k=1 y asi y'=y
Como $$k=\underset{h\to 0}{\text{Lim}} \frac{ a^h-1}{h}$$
Entonces $$\underset{h\to 0}{\text{Lim}} \frac{ a^h-1}{h}=1$$
Usando algebra de límites
$$\frac{ \underset{h\to 0}{\text{Lim}}a^h-\underset{h\to 0}{\text{Lim}}1}{\underset{h\to 0}{\text{Lim}}h}=1$$
Despejando $$a^h$$
$$ \underset{h\to 0}{\text{Lim}}a^h=\underset{h\to 0}{\text{Lim}}1+\underset{h\to 0}{\text{Lim}}h$$
$$\underset{h\to 0}{\text{Lim}}a^h=\underset{h\to 0}{\text{Lim}}(1+h)$$
Aplicando la raiz h-esima de ambos lados
$$ \underset{h\to 0}{\text{Lim}}a=\underset{h\to 0}{\text{Lim}}(1+h)^{\frac{1}{h}}$$
Como a es una constante, entonces su límite es a, es decir,
$$a=\underset{h\to 0}{\text{Lim}}(1+h)^{\frac{1}{h}}$$
Ahora haremos un cambio de variable
$$n=\frac{1}{h}$$ y cuando $$h\to 0$$, $$n\to \infty $$
Sustituyendo
$$a=\underset{n\to \infty }{\text{Lim}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
Y como vimos en el post anterior
$$a=e$$
Asi $$y=e^x$$ = y'

All Hail the Mother Russia!!!

Hola Camaradas al servicio de Cthulhu, esta noche deseo compartir con ustedes un video impresionante acerca de los juegos Olímpicos de Invierno que se celebrarán en la ciudad de Sochi en Rusia en el año 2014. Este video fue presentado durante la ceremonia de Clausura de los Juegos Olímpicos de Invierno de Vancouver 2010, y espero que lo disfruten tanto como yo lo disfruté.

SOCHI 2014. VANCOUVER HANDOVER. from Alex Mikhaylov on Vimeo.

jaja, en esta imagen parece que Cthulhu Corp es Patrocinador de los juegos XD