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lunes, 29 de marzo de 2010

e (Parte 2)

Vamos a suponer que la función y=ax es derivable (en un futuro lo comprobaré pero por hoy pensaremos que es cierto) donde aR{0}

Entonces como la función es derivable, por la definición de derivada
y'= Limh0f(x+h)f(x)h, es decir
y'= Limh0ax+haxh
Factorizando ax se tiene
y'= Limh0ax(ah1)h
Usando algebra de límites
y'= ax(Limh0ah1h)
Y como este límite existe por hipótesis, llamaremos k=Limh0ah1h
entonces
y'=ky
Lo que significa que la derivada es proporcional a la función original.
Ahora trataremos de encontrar un valor de a para el cuál k=1 y asi y'=y
Como k=Limh0ah1h
Entonces Limh0ah1h=1
Usando algebra de límites
Limh0ahLimh01Limh0h=1
Despejando ah
Limh0ah=Limh01+Limh0h
Limh0ah=Limh0(1+h)
Aplicando la raiz h-esima de ambos lados
Limh0a=Limh0(1+h)1h
Como a es una constante, entonces su límite es a, es decir,
a=Limh0(1+h)1h
Ahora haremos un cambio de variable
n=1h y cuando h0, n
Sustituyendo
a=Limn(1+1n)n
Y como vimos en el post anterior
a=e
Asi y=ex = y'

3 comentarios:

IV - L' Empereur dijo...

De grande quiero ser como e

Zane dijo...

yo tambien!!
espera, en los diplomas de la CC2.5 podemos poner "El que más se aproxima a e"!!

Anónimo dijo...

No has demostrado que y=a^x es derivable!! jeje ah no es cierto, me gustó tu demostración casi me da igual de miedo que la fórmula de Ramanujan pero ahora con e... hay alguna fórmula que me de e??? oh si la hay deberías escribirla en el blog, sería muy interesante :)