e (Parte 4)

Creo este será el último post sobre el número e (o puede que no).
Hoy hablaré sobre la derivada del logaritmo natural (logaritmo base e)
$$y=\text{Ln}[x]$$
Usando definición de derivada $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\frac{\text{Ln}(x+h)-\text{Ln}(x)}{h}$$, por propiedad de logaritmos
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$$
Ahora elevamos el argumento del logaritmo a la $$\frac{x}{x}$$
$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}\left(\frac{x}{x}\right)}$$
Arreglando $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Por propiedad de logaritmos $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right)
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
h\to 0
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}$$
Ahora tomamos $$n=\frac{x}{h}$$. Cuando $$h\to 0$$, $$n\to \infty $$
Sustituyendo $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right)
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\text{Ln}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$
Por propiedad de límites $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right) \text{Ln}\left(
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$$
Y ahora ya sabemos que $$
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$
Asi $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\left(\frac{1}{x}\right) \text{Ln}(e)$$
$$\therefore $$ $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{1}{x}$$