Area de un círculo

Hoy vamos a aprender a encontrar el area de un círculo.
Primero tenemos la circunferencia con ecuación

x²+y²=r²

y=±√(r²-x²)

Y para encontrar el area debajo de la curva usaremos la integral de ±√(r²-x²) y por simetria usaremos solo la parte positiva desde 0 hasta r, y multiplicando por 4
Integrando


Integrando por sustitución trigonométrica
√(r²-x²)=r cos(u)
x=r sen(u)
dx= r cos(u) du

Sustituyendo
como
cos²(u)=½ cos(2u)+½

y separando quedaal resolver las integrales
Sustituyendo la u
como dijimos que se evaluara de 0 a r entonces
=½(r)(r)(√(r²-r²)+½(r²)(arcsen(r/r))-[½(r)(0)(√(r²-0²)+½(r²)(arcsen(0/r))]
=0+½(r²)(arcsen(1))-[0+½(r²)(arcsen(0))]
=½(r²)(½ π)-½(r²)(0)
=½(r²)(½ π)
=¼ (r²)( π)
Multiplicando por 4 para encontrar el area del circulo completo tenemos
(4)(¼) (r²)( π)
=(r²)( π)
Acomodando los términos
El area del círculo es igual a πr²!!!