Un poco de triángulos 2

Ahora entontraremos el área del triángulo.

Como todos saben

Entonces (1)
Sabiendo que $$\text{Sen}^2[A]+\text{Cos}^2[A]=1$$ por el teoréma de Pitágoras, $$\text{Sen}[A]=\sqrt{1-\text{Cos}^2[A]}$$ (2)

Asi sustituyendo 2 en 1 (3)
Usando la Ley de Cosenos $$a^2=b^2+c^2-2\text{bcCos}[A]$$.
$$\text{Cos}[A]=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\text{bc}}$$ (4)
y sustituyendo en 3 y simplificando $$A=\frac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2}$$ (5)
Factorizando como diferencia de cuadrados se tiene $$A=\frac{1}{4} \sqrt{\left(2\text{bc}+b^2+c^2-a^2\right)\left(2\text{bc}-b^2-c^2+a^2\right)}$$ (6)
Factorizando los trinomios cuadrados perfectos $$A=\frac{1}{4} \sqrt{\left[(b+c)^2-a^2\right]\left[a^2-(b-c)^2\right]}$$ (7)
Factorizando diferencia de cuadrados $$A=\frac{1}{4} \sqrt{(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)}$$ (8)
Como $$P=a+b+c$$ (9)
Sustituyendo 9 en 8 $$\frac{1}{4} \sqrt{(P)(P-2a)(P-2c)(P-2b)}$$ (10)
El 4 que está fuera de la raiz se mete como 16, es decir,
$$A= \sqrt{\frac{(P)(P-2a)(P-2c)(P-2b)}{16}}$$ (11)
Ahora separamos el 16 en cada factor $$A= \sqrt{\frac{(P)}{2}\frac{(P-2a)}{2}\frac{(P-2c)}{2}\frac{(P-2b)}{2}}$$ (12)
Simplificando $$A= \sqrt{\left(\frac{P}{2}\right)\left(\frac{P}{2}-a\right)\left(\frac{P}{2}-c\right)\left(\frac{P}{2}-b\right)}$$ (13)
Por último sustituimos P/2 por s
$$A= \sqrt{(s)(s-a)(s-c)(s-b)}$$(14)
Y arreglando la última ecuación
$$A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ donde $$s=\frac{a+b+c}{2}$$
A esta se le conoce como Fórmula de Herón