Un poco de triángulos 1

En este post hablaré un poco sobre triángulos. Primero demostraré la llamada Ley de Coseno
Primero tenemos nuestro triángulo ABC de lados a, b, c y ángulos A, B, C
Encontraremos c usando trigonometría. Primero trazamos una altura en el lado C para obtener un triángulo rectángulo

Y ahora $$c=\text{bCos}[A]+\text{aCos}[B]$$
Haciendo lo mismo con los otros 2 lados se obtiene
$$a=\text{bCos}[C]+\text{cCos}[B]$$ (1)
$$b=\text{aCos}[C]+\text{cCos}[A]$$ (2)
$$c=\text{bCos}[A]+\text{aCos}[B]$$ (3)

A la ecuación 1 se multiplicará por a, a la 2 por b y a la 3 por c
$$a^2=\text{abCos}[C]+\text{acCos}[B]$$ (4)
$$b^2=\text{abCos}[C]+\text{bcCos}[A]$$ (5)
$$c^2=\text{bcCos}[A]+\text{acCos}[B]$$ (6)

Ahora a la ecuación 4 le restaremos las 5 y 6
$$a^2-b^2-c^2=-2\text{bcCos}[A]$$
$$a^2=b^2+c^2-2\text{bcCos}[A]$$
Haciendo un método similar se obtienen
$$a^2=b^2+c^2-2\text{bcCos}[A]$$ (7)
$$b^2=a^2+c^2-2\text{acCos}[B]$$ (8)
$$c^2=a^2+b^2-2\text{abCos}[C]$$ (9)

De aquí se tiene un caso particular, para cuando el ángulo C=90°, de la ecuación 9
$$c^2=a^2+b^2-2\text{abCos}[90{}^{\circ}]$$
$$c^2=a^2+b^2-2\text{ab}(0)$$
$$c^2=a^2+b^2$$
El famoso teorema de Pitágoras