Serie de Taylor

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Mostrare algunos ejemplos:
f(x) =Senx (la evaluaremos en a=0)
f(x) =Senx f(o)=0
f'(x) =Cosx f'(o)=1
f''(x) =-Senx f''(o)=0
f³(x)=-Cosx f³(0)=-1
....
Ahora según la definición

Senx=f(0)/0! x⁰+f'(0)/1! x¹+f''(0)/2! x²+f³(0)/3! x³=0/0!+x/1!+0/2!-x³/3!+0/4!+x⁵/5!+....=

De la misma forma se obtiene Cosx
CosX=

Ahora usaremos la serie de Taylor para expander e^ix (i es la unidad imaginaria)
f(x)=e^ix f(0)=1
f'(x)=ie^ix f'(0)=i
f''(x)=-e^ix f''(0)=-1
f³(x)=-ie^ix f³(0)=-i
f⁴(x)=e^ix f⁴(0)=1
...
Asi
e^ix=
e^ix=

e^ix=Cosx+i Senx

De aqui sale la que llaman la ecuación más hermosa.
Cuando x=π
e^iπ=Cosπ+i Senπ=-1+0=-1
e^iπ=-1

e^iπ+1=0