e (Parte 5 (Nadie esperaba uno más)) (The Matching Problem)

El dia de hoy hablaré sobre The Matching Problem, tiene muchas variaciones pero la interpretación es la misma.

Suponemos que a una fiesta llegan $$n$$ hombres con sombrero y lo dejan en la entrada. Al terminar la fiesta cada hombre agarra un sombrero al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún hombre haya tomado su sombrero?

Como solo hay dos opciones, que agarre un sombrero correcto o que agarre un sombrero equivocado, este problema se puede resolver mediante una distribución binomial.
$$P=\left(
\begin{array}{c}
n \\
x
\end{array}
\right)p^x(1-p)^{n-x}$$
Donde $$\left(
\begin{array}{c}
n \\
x
\end{array}
\right)$$ representa el número de combinaciones posibles definido por $$\left(
\begin{array}{c}
n \\
x
\end{array}
\right)=\frac{n!}{(n-x)! x!}$$
y $$p$$ representa la probabilidad de que ocurra el evento que esperamos
Como hay n sombreros, la probabilidad de que alguien escoga su sombrero es de $$\frac{1}{n}$$
De esta manera la probabilidad de que haya k hombres que elijan el sombrero correcto es de
$$P=\left(
\begin{array}{c}
n \\
k
\end{array}
\right)\left(\frac{1}{n}\right)^k\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-k}$$
Pero como lo que queremos es que ningún hombre tome el sombrero correcto, entonces $$k=0$$

Asi $$P=\left(
\begin{array}{c}
n \\
0
\end{array}
\right)\left(\frac{1}{n}\right)^0\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
De la definición de combinación $$\left(
\begin{array}{c}
n \\
0
\end{array}
\right)=\frac{n!}{(n)! 0!}=1$$
Entonces
$$P=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
Ahora nos preguntamos ¿Qué pasa si el número de hombres tiende a infinito?
entonces buscaremos
$$
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
P=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
Esto último lo podemos escribir como $$
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
P=
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\left[\left(1+\frac{1}{-n}\right)^{-n}\right]^{-1}$$
Podemos decir que $$
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
\left(1+\frac{1}{-n}\right)^{-n}=e$$
$$\therefore
\begin{array}{c}
\text{Lim} \\
n\to \infty
\end{array}
P=\frac{1}{e}$$

Y $$\frac{1}{e}\approx 0.36787944117144233$$
Por lo que la probabilidad es aproximadamente 36.79%