Sumas

¿Alguna vez se han preguntado como realizar la suma
1+2+3+...+n?
Hace algun tiempo un niño de 10 años se dio cuenta que
1+2+3+....+(n-2)+(n-1)+n=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1
Entonces
S=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n
S=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1
2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)+(n+1) ( (n+1) se repite n veces) por lo tanto
2S=n(n+1)
S=n(n+1)/2
Ejemplo
1+2+3+4=10
1+2+3+4=4(4+1)/2 = 4(5)/2=20/2=10

Ahora haremos la suma de 1²+2²+3²+...+n²
Sabemos que para cualquier número se cumple que
(n+1)³=n³+3n²+3n+1 ó (n+1)³-n³=+3n²+3n+1

Cuando n=1 2³-1³=+3(1)²+3(1)+1
Cuando n=2 3³-2³=+3(2)²+3(2)+1
Cuando n=3 4³-3³=+3(3)²+3(3)+1
.
.
.
Cuando n=n (n+1)³-n³=+3(n)²+3(n)+1

Si sumamos notamos que del lado izquierdo los números se van cancelando hasta quedar
(n+1)³-1³=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+n (se suman n veces el número 1)
Despejando tenemos que
3(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)³-1-3(1+2+3+...+n)-n
3(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)³-3(n(n+1)/2)-n-1 (De la formula del principio)
6(1²+2²+3²+...+n²)=2(n+1)³-3(n(n+1))-2(n+1) (Multiplicando todo por 2)
6(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2] (Factorizando (n+1)
6(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)[2(n²+2n+1)-3n-2]
6(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)(2n²+4n+2-3n-2)
6(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)(2n²+n) (Desarrollando)
6(1²+2²+3²+...+n²)=n(n+1)(2n+1) (Factorizando n)
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 (Dividiendo entre 6)

y nos dá el resultado