Números Racionales e Irracionales

Un número racional es aquel que puede expresarse de la forma p/q, donde p y q son enteros y q≠0

Un número irracional es aquel que no puede expresarse de la forma p/q

Al sumar un racional y un irracional el resultado es irracional
Demostración.
Lo haremos por reducción al absurdo, es decir negaremos la afirmación y la supondremos verdadera hasta llegar a una contradicción.
Entonces supondremos que sea r un número irracional y p/q un número racional, su suma es un racional:
s, q, p y t son enteros y por cerradura de producto sq y pt y qt son enteros,
ademas sq-pt tambien pertenece a los enteros por cerradura de enteros, lo cual dice que r es racional ya que se expresa como el cociente de dos enteros. Esto es una contradicción a la hipótesis de que r era irracional.
Por lo tanto la suma de un número irracional y un irracional es irracional

Al multiplicar un racional y un irracional el resultado es irracional
Demostración.
Por reducción al absurdo, suponemos que el producto de un racional p/q y un irracional r es racional


q, s, p y t son enteros entonces qs y pt son enteros por cerradura y entonces r es racional porque se expresa como el cociente de enteros, lo que contradice que r es irracional.
Por lo tanto el producto de un número irracional y un irracional es irracional.

Por último
√2 +√3 es irracional
Por reducción al absurdo, supondremos que
√2 +√3 es racional, es decir que
donde √2 y √3 son irracionales
p y q son enterosDespejando √3Elevando al cuadrado
Despejando √2

p², q² y 2pq son enteros por lo que √2 es racional, lo que contradice que √2 es irracional,
por lo tanto
√2 +√3 es irracional